功的计算公式

公式卡

文字陈述

力对物体做的功等于力的大小、位移大小与两者夹角余弦的乘积：夹角小于 90° 时力做正功，等于 90° 时不做功，大于 90° 时做负功。

单位与量纲

W：焦耳（J），1 J = 1 N·m；F：牛顿（N）；s：米（m）；θ：力与位移方向的夹角。cosθ 是无量纲系数；功是标量，但有正负之分。

使用顺序

先看演示，再调参数，最后看例题和小测。

物理能量模式：做功与动能变化

试试看

1操作：固定“位移 s”=5 m、“夹角 θ”=60°，把“作用力 F”从 20 N 拉到 40 N。　观察：做功变为多少？W 与 F 是什么关系？看提示

参考：其余量不变时 W 与 F 成正比：从 20×5×cos60°=50 J 变为 40×5×cos60°=100 J，力翻倍功翻倍。

2操作：固定 F=20 N、s=5 m，把“夹角 θ”从 0° 缓慢拉到 180°。　观察：功怎样从正变负？在哪个角度做功最多？哪个角度不做功？看提示

参考：W=100cosθ（J）：θ=0° 时做功最多（100 J），θ=90° 时为 0，θ 超过 90° 后变为负功，θ=180° 时为 -100 J——正负和大小由余弦函数决定。

3操作：固定 F=20 N、“夹角 θ”=60°，把“位移 s”从 5 m 拉到 15 m。　观察：功变为多少？倍数关系如何？看提示

参考：W 与 s 成正比：从 50 J 变为 20×15×cos60°=150 J，位移变为 3 倍，功也变为 3 倍。

ΔEk

-8000.00 J

末速度 v

20.00 m/s

初速度 v0

60.00 m/s

W-θ 图像

概念精讲

推箱子没推动，人累得满头汗，物理学却认为你没有做功——做功必须同时具备力和沿力方向的位移。当力与位移有夹角时，只有沿位移方向的分量才对做功有贡献，把力投影过去就得到 W=Fs cosθ，cosθ 正是这个投影的系数，它的符号也直接决定了功的正负。

计算时先确认 θ 是这个力与位移方向的夹角，再代入 F、s 与余弦值；几个特殊角要熟：θ=0° 时 W=Fs，θ=90° 时不做功，θ=180° 时 W=-Fs。物体同时受多个力时，每个力各自按公式计算，总功等于各力做功的代数和，与计算的先后顺序无关。

功是标量，正负只表示这个力在推动还是阻碍物体，不代表方向。判断正负只看夹角：锐角做正功，直角不做功，钝角做负功；摩擦力未必做负功，人走路时地面给鞋底的静摩擦力就做正功。重力做功只取决于高度差，与路径长短没有关系。

按难度递进完成，先自己作答再展开解析。

变式练习

基础

用 50 N 的水平拉力拉着箱子沿水平地面前进 8 m，求拉力对箱子做的功。

基础

质量 2 kg 的物体从静止自由下落 3 m（g 取 10 m/s²），求重力对物体做的功。

进阶

质量 10 kg 的雪橇在水平冰面上匀速前进 20 m，拉力 F=40 N 且与水平方向成 37° 角（cos37°=0.8）。求拉力做的功，以及此过程中摩擦力做的功。

挑战

一个高 2 m、长 5 m 的斜面，把质量 3 kg 的物体沿斜面匀速推到顶端（g 取 10 m/s²，摩擦不计）。求重力做的功和推力做的功。

易错点

误区：只要用了力，这个力就一定做了功。

为什么错：做功需要力和沿力方向的位移两个要素：提着水桶水平行走（提力与位移垂直）或推墙而墙不动（没有位移）都没有做功。

正确理解：判断做功看两点：有没有力，以及沿力方向有没有位移（即 s cosθ 是否为零），缺一不可。

误区：功的正负表示功的方向，比如正功向右、负功向左。

为什么错：功是标量，没有方向；正负只反映该力对物体运动起推动作用还是阻碍作用。

正确理解：正功表示输入能量、负功表示消耗能量；合成多个力的功时直接求代数和，不需要按方向分解功本身。

误区：摩擦力一定做负功。

为什么错：摩擦力的方向取决于相对运动（或趋势）的方向：人走路时地面给鞋底的静摩擦力向前，对人做正功；随传送带加速的货物所受静摩擦力也做正功。

正确理解：摩擦力可以做正功、负功或不做功，同样由它与位移方向的夹角决定。