完全平方公式

公式卡

文字陈述

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍；展开结果共三项：两个平方项恒为正，中间项 ±2ab 的符号由括号内的“和/差”决定。

单位与量纲

a、b 可以表示任意数、字母或代数式，均无量纲；使用时先确认结构为完全平方式（三项式或同式相乘），中间项系数必须是 2ab。

使用顺序

先看演示，再调参数，最后看例题和小测。

数学代数模式：参数与根结构

试试看

1操作：保持“系数 a（一次项系数）”=1、“常数项 b”=2，把“中间项系数”从 2 调到 0 再调回 2。　观察：虚线何时与实线重合？中间项起了什么作用？看提示

参考：中间项系数为 2（等于 b）时两线重合，对应 (x+2)²=x²+4x+4；调到 0 时虚线变成 x²+4，它与实线的差 4x 正是被丢掉的中间项 2ab。

2操作：把“常数项 b”从 2 调到 -2，“中间项系数”同步调到 -2（a=1）。　观察：抛物线顶点移到了哪里？展开式哪一项变号？看提示

参考：实线变为 (x-2)²=x²-4x+4，顶点从 x=-2 移到 x=2；中间项 2ab 由 +4x 变为 -4x，两个平方项保持不变。

3操作：把“系数 a（一次项系数）”从 1 调到 3（b=2，中间项系数保持 2）。　观察：此时实线是什么函数？虚线的三项系数各是多少？看提示

参考：实线是 (3x+2)²；虚线为 9x²+12x+4，两线恰好重合——平方项 (3x)²=9x²、中间项 2×3×2=12x、常数 2²=4，系数 a 也要平方。

判别式 Δ

-4.00

系数 b

2.00

系数 a

1.00

完全平方恒等式图像

概念精讲

平方差能算 102×98，那 102×102 呢？(100+2)² 并不等于 100²+2²。用面积看最直观：边长为 a+b 的正方形切成四块——两个正方形 a²、b² 和两个长方形 ab，合起来是 a²+2ab+b²，四项缺一不可。“和的平方等于平方和加中间项”，这条规律连同“差的平方”一起记作完全平方公式，中间项 ±2ab 的符号跟着括号里的“和/差”走。

(a+b)²=a²+2ab+b² 与 (a-b)²=a²-2ab+b² 是一对孪生公式：两个平方项永远带着正号，区别只在中间项。最容易丢的就是 2ab：a=2、b=3 时 (2+3)²=25，而 2²+3²=13，数值一验便知中间项不是可有可无的装饰。反向使用就是因式分解：看到 x²+6x+9，认出 6x=2·x·3、9=3²，立刻写成 (x+3)²。

公式中的 a、b 可以是单项式甚至多项式：(3x+2y)² 中把 3x 看作 a、2y 看作 b，得 9x²+12xy+4y²——系数也要平方，中间项是 2ab=12xy。配方法解一元二次方程、推导求根公式，都要靠完全平方公式打地基；它还留下一个常用变形 a²+b²=(a+b)²-2ab：知道“和与积”就能整体求出“平方和”，不必解出 a、b 各是多少。

按难度递进完成，先自己作答再展开解析。

变式练习

基础

计算 (3x+2y)²。

基础

分解因式：x²-10x+25。

进阶

用完全平方公式计算 98²。

挑战

已知 a+b=5，ab=3，求 a²+b² 的值。

易错点

误区：(a+b)²=a²+b²，平方就是把每一项平方。

为什么错：展开时丢掉了中间项 2ab。用数值验证：a=2、b=3 时 (2+3)²=25，而 2²+3²=13，明显不相等。

正确理解：(a+b)²=a²+2ab+b²，“和的平方”展开为三项，中间项 2ab 来自两块长方形的面积。

误区：(a-b)²=a²-b²，差的平方也等于平方差。

为什么错：把完全平方与平方差混为一谈：(a-b)² 是同一个式子自乘，展开为三项；(a+b)(a-b) 才是平方差，展开为两项。

正确理解：(a-b)²=a²-2ab+b²，与 a²-b²=(a+b)(a-b) 是两个不同的公式：a=5、b=3 时 (a-b)²=4 而 a²-b²=16，用数值一验便知。

误区：完全平方式展开后中间项的符号一定是正的。

为什么错：差的平方 (a-b)² 展开为 a²-2ab+b²，中间项为负；但两个平方项 a²、b² 恒为非负，正负只会出现在中间项上。

正确理解：中间项符号由括号内“和/差”决定：和取 +2ab，差取 -2ab；首末两个平方项永远非负。