平方差公式

公式卡

文字陈述

两数之和与这两数之差的乘积，等于这两数的平方差；正向读是整式乘法公式，反向读就是因式分解：a²-b²=(a+b)(a-b)。

单位与量纲

a、b 可以表示任意数、字母或代数式，均无量纲；公式成立的结构前提是“相同项 + 相反项”，展开后中间项 -ab 与 +ab 恰好抵消，只剩下两个平方项。

使用顺序

先看演示，再调参数，最后看例题和小测。

数学代数模式：参数与根结构

试试看

1操作：把“系数 b（平方项底数）”从 3 拉到 5，其余滑杆保持 3。　观察：实线怎么变？虚线还和它重合吗？看提示

参考：实线变为 x²-25，在 x=0 处降到 -25；m、n 仍是 3，虚线不再重合——想验证平方差，必须让 m、n 一起调到新的 b。

2操作：保持 b=3，把“系数 m（和式加数）”从 3 调到 -3，“系数 n（差式减数）”保持 3。　观察：虚线变成什么函数？它与实线还有几个公共点？看提示

参考：虚线变为 (x-3)(x-3)=(x-3)²=x²-6x+9，从两条直线变成一条抛物线，与实线只在 x=3 处相切——“和×差”变成“差×差”，平方差结构被破坏。

3操作：把三根滑杆都调到 4，读出 x=10 处的函数值。　观察：两条曲线在该点的值验证了什么等式？看提示

参考：都是 10²-4²=84，即 (10+4)(10-4)=14×6=84=100-16——平方差把“和×差”变成“平方相减”的速算。

判别式 Δ

-27.00

系数 b

3.00

系数 a

3.00

平方差恒等式图像

概念精讲

算 103×97，竖式要进位好几步；先把两数看成 100 与 3 的“和”与“差”，(100+3)(100-3) 恰好等于 100²-3²，口算得 9991。把这类结构一般化，用字母表示就是平方差公式 (a+b)(a-b)=a²-b²：两数之和乘以两数之差，等于平方差。它是整式乘法中第一个独立成“公式”的模型，也是后续因式分解的第一件工具。

公式为什么成立？用多项式乘法展开一遍：四个部分相乘，中间的 -ab 与 +ab 恰好抵消，只剩两个平方项。这个“中间项抵消”正是平方差的本质，也解释了结构要求——必须有一项完全相同、另一项互为相反数。反过来走就是因式分解：a²-b²=(a+b)(a-b)，把多项式重新写成乘积；同一等式的两个方向，一个做乘法、一个做分解。

用公式前先“验结构”：(2x+3)(2x-3) 中 2x 相同、+3 与 -3 相反，结果 4x²-9，注意系数 2 也要平方；(x+2)(x-3) 的常数项不互为相反数，就不能套。速算时同样先凑结构：59.8×60.2 写成 (60-0.2)(60+0.2)。在图像上，y=x²-b² 与 y=(x+b)(x-b) 两条曲线完全重合，直观说明这个恒等式对一切 x 成立。

按难度递进完成，先自己作答再展开解析。

变式练习

基础

计算 (3x+2)(3x-2)。

基础

分解因式：4x²-25。

进阶

用平方差公式计算：59.8×60.2。

挑战

计算 (2+1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1) 的值。

易错点

误区：(a+b)(a-b)=a²-b² 对任何两个二项式相乘都成立，不用看结构。

为什么错：公式要求有一项完全相同、另一项互为相反数；(x+2)(x+3) 展开是 x²+5x+6，中间项并没有抵消。

正确理解：套用前先找“相同项”和“相反项”，结构符合才套公式；不符合就老实用多项式乘法展开。

误区：(a+b)(a-b)=a²-b²，所以 (a+b)² 也等于 a²+b²。

为什么错：把平方差与完全平方混为一谈：(a+b)² 展开是 a²+2ab+b²，中间项 2ab 不能丢，用 a=2、b=3 验证：25≠13。

正确理解：平方差是“和×差”，结果是两项；完全平方是“同式相乘”，结果是三项，两者结构不同。

误区：分解因式 4x²-9 时，结果是 (2x-3)²。

为什么错：混淆了平方差与完全平方式：4x²-9 没有交叉项 ±12x，不是完全平方式；只有 x²±6x+9 这类三项式才能写成 (x±3)²。

正确理解：4x²-9=(2x)²-3²=(2x+3)(2x-3)，判断的关键是看多项式是两项（平方差）还是三项（完全平方）。