韦达定理

公式卡

文字陈述

若一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的两个实数根为 x₁、x₂，则两根之和等于 -b/a，两根之积等于 c/a；使用前提是判别式 Δ=b²-4ac≥0，即方程确有实数根。

单位与量纲

a、b、c 为实数系数且 a≠0，根 x₁、x₂ 与两根的和、积均为实数，全部无量纲；使用前必须先检验 Δ=b²-4ac≥0。

使用顺序

先看演示，再调参数，最后看例题和小测。

数学方程模式：系数与根结构

试试看

1操作：保持 a=1、b=-5，把“常数项 c”从 6 调到 2。　观察：两根之和怎么变？两根之积怎么变？抛物线与 x 轴的交点怎么移动？看提示

参考：两根之和始终是 -b/a=5 不变；两根之积由 6 变为 2，说明其中一个根向 0 靠近；图像上两交点的横坐标之和仍为 5，整体位置随之调整（x²-5x+2=0 的两根为 (5±√17)/2，积恰为 2）。

2操作：保持 a=1、c=6，把“一次项系数 b”从 -5 调到 5。　观察：两根之和变为多少？两交点关于哪条竖直线重新分布？看提示

参考：两根之和由 5 变为 -5（和为 -b/a）；对称轴 x=-b/2 从 2.5 移到 -2.5，两个交点关于新对称轴重新分布（根从 2、3 变为 -2、-3）。

3操作：把“二次项系数 a”从 1 调到 2（b=-5、c=6 不变）。　观察：两根之和与两根之积各变为多少？根的个数变了吗？看提示

参考：和由 5 变为 5/2=2.5，积由 6 变为 6/2=3；但 Δ=25-48=-23<0，方程没有实数根——韦达定理给出的和与积只在根存在时才对应真实的根。

判别式 Δ

1.00

系数 b

-5.00

系数 a

1.00

抛物线与两根的位置

概念精讲

十六世纪法国数学家韦达发现了一件妙事：不解方程，根之间的关系早已写在系数里。对方程 ax²+bx+c=0，两根之和是 -b/a，两根之积是 c/a——把求根公式给出的两个根相加、相乘即可验证：相加时根号里的正负两支抵消，相乘时凑成平方差 (b²-Δ)/(4a²)=c/a。人们把这两条关系叫作韦达定理，它把“根”的信息压缩成了系数的读数。

韦达定理的威力在对称式：x₁²+x₂²、(x₁-x₂)²、1/x₁+1/x₂ 这类交换两根不变的式子，都能改写成“和与积”的组合——x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂，(x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂，变形工具正是完全平方公式。于是三件事都不必真的解方程：已知一根求另一根、已知两根反求方程（x²-(和)x+积=0）、以及给解出的根验算。

使用前有两道闸门：方程先化成标准式并确认 a≠0；判别式 Δ≥0 确保实数根存在——像 2x²-5x+6=0 的 Δ=25-48<0，实数范围内没有根，“和与积”就落了空。含参问题还要注意顺序：先由“方程有实数根”解出参数的取值范围，再用韦达定理列式，最后把结果代回范围里筛选，不能反着来。

按难度递进完成，先自己作答再展开解析。

变式练习

基础

已知方程 x²-4x+3=0 的两根为 x₁、x₂。求 x₁+x₂ 与 x₁x₂ 的值，并写出方程的两根。

基础

已知方程 x²+mx-6=0 的一个根为 2，求它的另一个根及 m 的值。

进阶

已知 x₁、x₂ 是方程 2x²-4x+1=0 的两个实数根，求 x₁²+x₂² 与 (x₁-x₂)² 的值。

挑战

已知关于 x 的方程 x²-(k+2)x+2k=0。(1) 求证：无论 k 取何实数，方程总有两个实数根；(2) 若 x=1 是方程的一个根，求 k 的值和另一个根。

易错点

误区：韦达定理对任何一元二次方程都成立，不用检验判别式。

为什么错：在实数范围内，Δ<0 时方程没有实数根，“两实根之和与积”无从谈起；如 2x²-5x+6=0 的 Δ=25-48<0。

正确理解：使用前先确认 Δ≥0；含参问题先由“有实数根”求出参数范围，再列韦达定理的式子。

误区：两根之和等于 b/a，负号可加可不加。

为什么错：漏掉负号是最常见的错误：x²-7x+12=0 的两根之和是 7 而不是 -7，因为 -b/a=-(-7)/1=7。

正确理解：x₁+x₂=-b/a：先把 b 连同符号代入，再整体变号；用两根之积 c/a 一起核对更稳妥。

误区：x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²，对称式可以直接代入。

为什么错：完全平方展开多出 2x₁x₂ 这一项，只代入“和”会把它漏掉；两根之积的信息必须通过 -2x₁x₂ 补回来。

正确理解：x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂；同理 (x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂，每个对称式都化成“和与积”的组合再代入。

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