单摆周期公式

公式卡

文字陈述

在摆角很小的情况下，单摆做简谐运动，其周期与摆长的平方根成正比、与重力加速度的平方根成反比，而与摆球的质量和振幅无关。

单位与量纲

T：秒（s）；L：摆长（m），指悬点到摆球球心的距离；g：重力加速度（m/s²），地面附近取 9.8 m/s²。公式要求摆角小于约 10°。

使用顺序

先看演示，再调参数，最后看例题和小测。

物理波动模式：振幅-频率-相位传播

试试看

1操作：把摆长 L 从 1 m 拉到 2.45 m，摆角保持不变。　观察：周期怎么变？变为原来的几倍，与摆长的倍数是什么关系？看提示

参考：周期从约 2.0 s 变为 π≈3.14 s，约为原来的 1.57 倍，恰好等于 √2.45≈1.57——周期与摆长的平方根成正比，摆长翻 4 倍周期才翻 2 倍。

2操作：把摆角 θ₀ 从 2° 拉到 6°，摆长保持 1 m 不变。　观察：周期的读数有明显变化吗？这说明了什么规律？看提示

参考：周期基本不变，仍约为 2.0 s——小摆角范围内单摆具有等时性，周期与振幅无关；摆角远大于 10° 时公式误差才会明显。

3操作：固定摆长 L=1 m，把相位从 0 拉到 6，再设想把单摆搬到月球（g 约为地球的 1/6）。　观察：相位改变影响周期吗？月球上周期大约变为地球上的几倍？看提示

参考：相位只改变从哪一步开始计时，不影响周期；月球上 g 变为 1/6，由 T=2π√(L/g) 周期变为 √6≈2.45 倍，约 4.9 s——重力加速度越小，摆动越慢。

周期 T

0.83 s

衰减系数

0.92

相位

0.00

T-L 图像（g 一定）

概念精讲

伽利略在教堂里观察吊灯摆动，用自己的脉搏计时，发现吊灯来回一次的时间似乎与摆动幅度无关。后来惠更斯确定了定量规律：摆角很小时，单摆做简谐运动，周期 T=2π√(L/g)，只由摆长和当地重力加速度决定，与摆球轻重、摆动幅度无关，这就是等时性。

为什么质量不出现在公式里？重力把摆球拉回平衡位置，回复力与质量成正比；而由 F=ma，更大的质量恰好需要更大的力产生同样的加速度，两者在方程中恰好抵消。这与“不同质量的物体自由下落一样快”是同一个道理，都是重力与惯性对称性的体现。

应用时注意：摆长要量到球心；摆角控制在 10° 以内，公式才足够准确。周期公式还能反过来“称量”地球：测出 L 与 T，代入 g=4π²L/T² 即得当地重力加速度——不同纬度、不同高度的 g 略有差异，摆钟搬到不同地方走得快慢也会不同。

按难度递进完成，先自己作答再展开解析。

变式练习

基础

摆长为 2.45 m 的单摆，g 取 9.8 m/s²，求它的周期。

基础

一个单摆的周期为 2 s，求它的摆长（g 取 9.8 m/s²，π² 取 9.8）。

进阶

把地球上的秒摆（周期 2 s）搬到某星球表面，该星球的重力加速度为地球的 1/4，求它在该星球的周期。

挑战

某单摆摆长 1.0 m，在实验中测得 50 次全振动共用时 101 s，求当地的重力加速度（π² 取 9.87）。

易错点

误区：摆球越重，摆得越快，周期越短。

为什么错：回复力来自重力的切向分量，与质量成正比；而由 F=ma，更大的质量恰好需要更大的力产生同样的加速度，质量在方程中消去。

正确理解：T=2π√(L/g) 中没有质量——周期与摆球质量无关，正如自由落体的加速度与质量无关。

误区：摆得越远（振幅越大），来回一次用的时间越长。

为什么错：振幅大时路程更长，但回复力也更大、平均速度更快，小角度范围内两种效应恰好抵消。

正确理解：小摆角下周期与振幅无关（等时性）；摆角超过约 10° 后，周期才会随振幅略有增大，公式误差变大。

误区：摆长就是悬挂摆球的绳子长度。

为什么错：公式中的摆长指悬点到摆球球心的距离，绳长只是其中一部分，漏掉球的半径会带来系统误差。

正确理解：L=绳长+球半径；用单摆测 g 时，摆长测量不准是主要的误差来源之一。