圆周角与圆心角关系

公式卡

文字陈述

同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；同弧或等弧所对的圆周角彼此相等，直径（半圆）所对的圆周角是直角。

单位与量纲

∠AOB 与 ∠ACB 都用角度单位（度）度量；弧与弦取长度单位，而‘一半关系’只涉及角度之间的倍数，与圆的半径大小无关。

使用顺序

先看演示，再调参数，最后看例题和小测。

数学几何模式：圆面积与半径平方关系

试试看

1操作：把“圆心角 ∠AOB”从 80° 调到 120°。　观察：圆周角 ∠ACB 变为多少？两者始终保持什么关系？看提示

参考：∠ACB 从 40° 变为 60°，始终等于圆心角的一半。

2操作：固定“圆心角 ∠AOB”为 80°，拖动“圆周点 C 位置”滑杆。　观察：∠ACB 的度数改变吗？这说明什么结论？看提示

参考：不改变，始终为 40°——同弧所对的圆周角相等，与顶点 C 在弧上的具体位置无关。

3操作：拖动“圆弧开口位置”滑杆改变弦 AB 的方位，保持圆心角读数不变。　观察：弦在圆上转动时，∠ACB 的读数变化吗？看提示

参考：不变，仍为圆心角的一半；一半关系只取决于圆心角的大小，与弦的朝向无关。

面积 S

20106.19

周长 C

502.65

形变

7.00

概念精讲

同一个圆里，顶点放在圆心的角与顶点放在圆上的角，若张着同一段弧，度数之间有什么联系？这个看似普通的问题是圆中角度计算的钥匙：弄清它之后，同弧上的角处处相等、直径所对的角是直角等一系列结论都能一并推出。

定理为什么成立？证明按圆心与圆周角的相对位置分三类讨论：圆心在角的一边上、在角的内部、在角的外部。核心工具是同圆半径相等——连接顶点与圆心构造等腰三角形，用等边对等角把外角写成两个底角之和，一半关系随之得证；后两类再作一条直径，拆成第一类处理。

使用时第一步永远是确认“同弧所对”：圆周角与圆心角必须夹同一段弧，一半关系才能启用。常用套路有三种——由圆心角求圆周角、用同弧圆周角相等转移角的位置、见到直径就构造直角；注意同一条弦两侧的圆周角对着不同的弧，它们互补而不相等。

按难度递进完成，先自己作答再展开解析。

变式练习

基础

在⊙O 中，同弧 AB 所对的圆心角 ∠AOB=60°，求这条弧所对的圆周角 ∠ACB。

进阶

在⊙O 中，弦 AB 所对的圆心角 ∠AOB=100°，点 C、D 在弦 AB 两侧的圆上（C 在优弧上，D 在劣弧上），求 ∠ACB 与 ∠ADB。

挑战

⊙O 的半径为 2，弦 AB=2，点 C 在优弧 AB 上，求 ∠ACB。

易错点

误区：任何圆周角都是某个圆心角的一半。

为什么错：只有当圆周角与圆心角对同一条弧（或等弧）时，才有‘一半’关系；对不同的弧不能直接比较。

正确理解：使用定理前先确认‘同弧所对’：圆周角的顶点在圆上，且与圆心角夹同一段弧。

误区：同一条弦所对的圆周角一定相等。

为什么错：弦两侧的圆周角所对的弧不同（一条对劣弧、一条对优弧），两侧的角互补而不是相等。

正确理解：同侧的圆周角相等；分居两侧的圆周角之和为 180°（圆内接四边形对角互补）。

误区：直径所对的圆周角会随点的位置变化。

为什么错：只要 C 在圆上且不与 A、B 重合，直径 AB 所对的圆心角恒为 180°，圆周角恒为 90°。

正确理解：半圆弧固定对应 180°，所以‘直径所对的圆周角是直角’与 C 的位置无关，是定值。