万有引力定律

公式卡

文字陈述

任意两个有质量的物体之间都存在相互吸引的力：引力与两物体质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，方向沿两质心的连线指向对方。

单位与量纲

F：牛顿（N）；m₁、m₂：千克（kg）；r：米（m）；G 为引力常量，G≈6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²，其单位由公式本身决定，计算时代入国际单位制。

使用顺序

先看演示，再调参数，最后看例题和小测。

物理引力模式：双体引力与平方反比

试试看

1操作：把“质量 m_1”从 6 拉到 12，“质量 m_2”和“距离 r”保持不变。　观察：引力变为原来的几倍？说明什么比例关系？看提示

参考：F 与 m₁ 成正比：m₁ 翻倍，引力也翻倍，说明引力与每一个物体的质量都成正比。

2操作：两个质量都不动，把“距离 r”从 4 拉到 8，再拉回 2。　观察：引力分别变为初始值的多少倍？看提示

参考：r 加倍时引力变为 1/4，r 减半时引力变为 4 倍——引力与 r² 成反比，距离越近引力急剧增大。

3操作：把“质量 m_2”从 8 拉到 16，同时把“距离 r”从 4 拉到 8，m₁ 保持不变。　观察：两个变化叠加后，引力最终变为初始值的多少倍？看提示

参考：质量翻倍使引力×2，距离翻倍使引力×1/4，叠加后引力变为原来的 1/2——两个因素要按各自的规律分别计算再合成。

引力 F

2.63e-1 N

质量乘积

63.00

距离²

16.00

F-r 图像

概念精讲

苹果落地与月亮绕地，曾被看作毫不相干的现象。牛顿提出：任意两个有质量的物体之间都存在相互吸引的力，即 F=Gm₁m₂/r²，天上的月亮与地上的苹果遵循同一条规律。引力常量 G 极小，日常物体间的引力微弱到难以察觉，但在天体尺度上，这种引力主宰着行星轨道与卫星运动。

公式中的 r 是两质心之间的距离：对均匀球体取球心间距，卫星的 r 等于地球半径加轨道高度，r 用错整道题就全错。天体问题常以比例法求解：质量或距离变为几倍，按“与质量乘积成正比、与距离平方成反比”直接写出倍数，不必算出 G 的具体数值。

平方反比让距离的影响被放大：r 加倍时引力变为 1/4，r 减半时引力变为 4 倍。地表重力加速度 g=GM/R² 正是它的特例，离地越高 g 按 (R/(R+h))² 逐渐减小；近地轨道上的失重不是不受引力，而是引力全部用来提供绕地球做圆周运动的加速度。

按难度递进完成，先自己作答再展开解析。

变式练习

基础

两个物体质量分别为 2 kg 和 3 kg，质心相距 1 m。已知 G=6.67×10⁻¹¹ N·m²/kg²，求它们之间的万有引力。

进阶

一颗卫星先在距地面高度为 R（地球半径）的轨道上运行，后变轨到距地面高度为 3R 的轨道上。地球对卫星的引力变为原来的多少？

进阶

地球表面重力加速度为 g=9.8 m/s²。忽略地球自转，把地球近似为半径 R 的均匀球体，推导距地面高度 h 处重力加速度的表达式，并求 h=R 处的值。

挑战

设想某星球质量为地球的 2 倍、半径为地球的 1/2。若在地球表面测得重力加速度为 g，该星球表面的重力加速度是多少？

易错点

误区：地球吸引苹果，而苹果并不吸引地球。

为什么错：万有引力是相互的：苹果也以同样大小的力吸引地球，只是地球质量巨大，由 a=F/m 可知地球产生的加速度微乎其微。

正确理解：地球与苹果之间的引力是一对作用力与反作用力，等大反向；效果不同是因为质量不同，不是力不同。

误区：太空中的宇航员处于失重状态，说明他们不受地球引力。

为什么错：近地轨道上的宇航员仍受到约为地表 90% 的地球引力；失重是因为引力全部用来提供绕地球圆周运动所需的加速度，人对支持物没有压力。

正确理解：失重不是“不受引力”，而是“只受引力”且引力完全产生向心加速度，处于完全失重状态。

误区：公式中的 r 是两个物体表面之间的距离。

为什么错：r 指的是两物体质心（对均匀球体即球心）之间的距离。用表面距离代入会使分母偏小、引力偏大，结果明显错误。

正确理解：r 是两质心之间的距离：地面上的物体到地心的距离取地球半径 R，卫星的 r 等于地球半径加轨道高度。