反比例函数图像与性质

公式卡

文字陈述

形如 y=k/x（k 为常数且 k≠0）的函数叫做反比例函数，其图像是两支双曲线：k>0 时两支分别位于第一、三象限，k<0 时位于第二、四象限；在每一支上，x 与 y 的乘积恒等于 k，x 越大 y 越小。

单位与量纲

k 为非零常数，无量纲；x 为自变量且 x≠0，y 随之确定，纯数学问题中均无量纲，实际情境中随所表示的量而定。

使用顺序

先看演示，再调参数，最后看例题和小测。

数学函数模式：曲线与切线分析

试试看

1操作：把比例系数 k 从 6 缓慢拖到 -6。　观察：双曲线的两支从哪些象限跳到了哪些象限？形状有没有变化？看提示

参考：k>0 时两支在第一、三象限，k 变为负后跳到第二、四象限；|k| 不变，双曲线的'张开程度'不变，只是位置关于原点对称翻转。

2操作：保持 k=6，把观察自变量 x 从 2 拖到 6，再从 -2 拖到 -6。　观察：每一支上 y 怎么变？xy 的乘积始终是多少？看提示

参考：x=2 时 y=3，x=6 时 y=1，在每一支上 y 随 x 增大而减小；无论取哪个点，xy 始终等于 6，这就是反比例的本质。

3操作：固定观察自变量 x=2，把比例系数 k 从 2 逐步拉大到 12（结合象限切换参考观察）。　观察：双曲线离坐标轴越来越远还是越来越近？k 在这里控制什么？看提示

参考：x=2 时 y 从 1 增大到 6，|k| 越大同一 x 处的 |y| 越大，双曲线离原点越远；k 同时控制图像所在象限和远离原点的程度。

y(1)

9.00

阻尼修正

0.92

相位

0.00

反比例函数图像

概念精讲

把 12 块蛋糕分给不同人数的小组，每人分得数乘以人数恒等于 12；匀速走完 60 千米，速度乘时间也总是 60。这类“乘积被钉死”的关系无法用直线刻画——一个量翻倍时另一个量必须减半，变化快慢本身随 x 改变，写成解析式就是 y=k/x，它的图像注定弯成两支互不相接的双曲线。

抓住乘积不变量 xy=k，双曲线的性质全能推出来：x、y 同号时点落在第一或第三象限，异号时落在第二或第四象限，k 的正负因此直接决定两支双曲线的位置；在同一支上 x 越大 y 越小，|x| 无限增大时 y 无限逼近 0 却取不到 0，两条坐标轴于是成了双曲线可望不可即的渐近线。用待定系数法求 k 只需一个点：k 等于该点横纵坐标之积。

两个易混点要专门辨析：其一，x=0 处函数无意义，k≠0 时 y 也取不到 0，所以双曲线与两条坐标轴都没有交点；其二，“y 随 x 增大而减小”只在每一支内部成立，跨支比较（比如从 x=-1 走到 x=1）函数值反而由负变正，比较大小前必须先确认两点落在同一支上。

按难度递进完成，先自己作答再展开解析。

变式练习

基础

已知 y 与 x 成反比例，且当 x=3 时 y=4。求 y 关于 x 的函数解析式，并求当 x=6 时 y 的值。

基础

反比例函数 y=-8/x 的图像位于哪几个象限？当 x=-2 时，y 等于多少？

进阶

点 A(x₁, y₁) 和点 B(x₂, y₂) 都在反比例函数 y=6/x 位于第一象限的那一支上，且 x₁<x₂。比较 y₁ 与 y₂ 的大小。

挑战

已知反比例函数 y=k/x 的图像经过点 (1,-4)。(1) 求 k 的值；(2) 判断点 (-2,2) 与 (2,2) 是否在该图像上；(3) 当 -4<x<-1 时，求 y 的取值范围。

易错点

误区：k>0 时 y 随 x 增大而减小，所以 x=1 处的函数值一定大于 x=-1 处的函数值。

为什么错：这是跨支比较的错误：两支双曲线是断开的。k=6 时 y(1)=6，y(-1)=-6，从 -1 到 1 函数值反而由负变正。

正确理解：增减性只能在每一支（同一象限内）使用；跨支比较大小必须分别代入数值或借助图像分析。

误区：反比例函数的图像会与 x 轴、y 轴相交。

为什么错：x=0 时 y=k/x 无意义，而 k≠0 时 y 永远不为 0，所以双曲线只能无限逼近两条坐标轴，但永远够不到它们。

正确理解：双曲线以 x 轴、y 轴为渐近线：可以无限接近，但与坐标轴没有任何交点。

误区：k=0 时 y=0/x 恒等于 0，图像是 x 轴，也算反比例函数。

为什么错：反比例函数的定义要求 k 是非零常数；k=0 时'乘积不变量'退化，图像成了一条直线，完全失去反比例的意义。

正确理解：反比例函数 y=k/x 必须满足 k≠0，同时自变量 x≠0，这两个条件都是定义的一部分。