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基本求导公式
Math Calculus Mode
公式卡
文字陈述
幂函数的导数等于把指数 n 提下来作系数、指数降一次：(x^n)'=nx^(n-1)；常数函数的导数为 0（变化率为零），一次函数 kx+b 的导数恒为 k（斜率即变化率）。例如 (x²)'=2x、(x³)'=3x²、(1/x)'=-1/x²、(√x)'=1/(2√x)，后两个分别是 n=-1 与 n=1/2 的情形。
单位与量纲
纯数学问题中函数值与导数均无量纲；幂函数求导公式要求先把函数化成 x^n 的标准形式（根式化为分数指数、分式化为负指数），n 可取非零有理数；若函数带物理单位，导数单位等于“函数值单位除以自变量单位”。
使用顺序
先看演示，再调参数，最后看例题和小测。
数学微积分模式：差商与切线斜率
试试看
1操作：保持“二次项系数”=1，把“切点横坐标 x0”从 1 拉到 2，再拉到 3。 观察：切线斜率怎么变？与公式 (x²)'=2x 算出的值一致吗？看提示
参考：斜率依次为 2、4、6，恰为 2x₀；(x²)'=2x 在 x₀=1、2、3 处分别给出 2、4、6——公式把每一点的斜率打包成了函数。
2操作：保持“切点横坐标 x0”=1，把“二次项系数”从 1 调到 -1。 观察：曲线与切线发生了什么变化？斜率的符号说明什么？看提示
参考：曲线开口由向上变为向下，切线由上升变为下降（斜率从 2 变为 -2）；导数的正负刻画增减，系数变号让 x>0 处的函数由增变减。
3操作：把“增量尺度（Δx 相关）”从 2 逐渐调小到 0.5。 观察：画布中的割线与切线的位置关系如何变化？看提示
参考：Δx 越小，割线越贴近该点处的切线；Δx→0 时割线斜率的极限就是公式给出的导数值——基本求导公式正是“先差商、后取极限”算完后存下来的结果。
切线斜率
Δx
变化率
抛物线与其切线
概念精讲
用导数定义算 (x²)'：差商 ((x+Δx)²-x²)/Δx=2x+Δx，令 Δx→0 得 2x。同样的流程对 x³ 得 3x²、对 x⁴ 得 4x³……规律浮出水面：指数提下来作系数、指数降一次。这就是幂函数求导公式 (x^n)'=nx^(n-1)——它是“先差商、后取极限”认真算过一遍后存下来的结论，定义是根，公式是果。
公式家族各有直观：常数 C 的图像是水平线，处处不变化，所以 C'=0；一次函数 kx+b 的斜率恒为 k，导数处处是 k；x² 的导数 2x 随 x 增大而增大，恰像匀加速运动中速度均匀增长。把分式与根式改写成负指数、分数指数后公式照样适用：(1/x)'=-1/x²、(√x)'=1/(2√x)——n 取负数与分数都不碍事。
套公式前先“整形”：x·x² 先合并成 x³，2/x 先写成 2x⁻¹，形式不对公式就落空；多项式求导是逐项进行的，每一项各自处理，常数项的导数为 0。求导得到的 f'(x) 是“斜率函数”：要某点的切线斜率或瞬时变化率，把该点横坐标代进去即可；写切线方程还差一个点——切点纵坐标必须回到原函数去求。
按难度递进完成，先自己作答再展开解析。
变式练习
求下列函数的导数：(1) f(x)=x⁴；(2) f(x)=5。
求 f(x)=3x²-4x+1 的导数。
求 f(x)=√x 的导数，并求曲线在 x=4 处的切线斜率。
质点的位移（单位：m）满足 s=t³+t（t 的单位：s）。求速度 v=s'(t) 的表达式，并求 t=2 s 时的速度与加速度。
易错点
误区：(x³)'=x²，求导就是“指数减一”。
为什么错：丢掉了“提系数”这一步。用定义验证：差商 ((x+Δx)³-x³)/Δx 化简为 3x²+3xΔx+(Δx)²，取极限是 3x² 而不是 x²。
正确理解：(x^n)'=nx^(n-1)：指数提出来的同时降一次，两步缺一不可。
误区：常数的导数是它本身，如 5'=5、π'=π。
为什么错：导数刻画的是变化率，常数不随 x 变化，变化率处处为零；π'=π 把“求导”错当成“照抄”。
正确理解：任何常数（包括 π、ln2 这样的常数）的导数都是 0；只有含 x 的项求导后才留下非零结果。
误区：求 (x²)' 在 x=3 处的值，可以先把 x=3 代入函数得 9，再求 9 的导数。
为什么错：先代入得到的是常数 9，其导数为 0，函数关系的信息全部丢失；求导是对整个函数关系进行的，代入必须在求导之后。
正确理解：先求 f'(x)=2x，再把 x=3 代入得 6；“先代后求”是顺序性错误。
小测1/3
函数 f(x)=x³ 的导数是？