演示页
方差公式
Math Statistics Mode
公式卡
文字陈述
先算出每个数据与平均数 x̄ 的差（偏差），把各偏差平方后求和，再除以数据个数 n，所得的量叫做这组数据的方差 s²；方差越大，数据偏离平均数越远、波动越大，方差越小，数据越集中、越稳定。
单位与量纲
偏差 xᵢ-x̄ 与原数据同单位；平方后 s² 的单位是原数据单位的平方（如 cm²）；标准差 s=√s² 与原数据同单位；n 为数据个数，无量纲。
使用顺序
先看演示，再调参数，最后看例题和小测。
数学统计模式：分布与离散程度
试试看
1操作：把“波动幅度”滑杆从 2 缓慢拖到 8，平均数保持 10 不变。 观察：分布曲线的宽窄如何变化？对应方差是变大还是变小？看提示
参考：曲线由窄高变为宽矮，数据偏离平均数更远：波动幅度增大，方差随之变大。
2操作：把“平均数”滑杆从 10 拖到 16，波动幅度保持不变。 观察：曲线的形状（宽窄）改变了吗？这说明方差与平均数有什么关系？看提示
参考：曲线只是整体向右平移，宽窄不变：方差刻画的是相对波动，与平均数（位置）无关，整体平移方差不变。
3操作：把“样本容量”滑杆从 16 拖到 40，观察柱形与曲线。 观察：柱形高度变化说明了什么？曲线的宽窄因此改变了吗？看提示
参考：柱形整体升高表示数据总量增多，但分布宽窄不变：样本容量不影响波动程度，方差由数据的分散情况决定。
均值估计
离散程度
趋势斜率
概念精讲
平均数只回答“平均水平多高”，回答不了“稳不稳定”：两名射手平均都是 10 环，一人次次命中 10 环，一人在 8 到 12 环之间跳动，成绩的可靠性天差地别。要区分这两种情形，就需要一个专门度量波动的新指标，方差由此登场。
方差的构造分三步：先求每个数据与平均数的偏差，再平方，最后取平均。平方是点睛之笔——偏差有正有负，直接相加会互相抵消等于零；平方后负号消失，且偏离越远的项被放得越大，恰好是“离平均数远近”的合理度量。
使用方差还要掌握两条性质：整体加减同一常数，波动幅度不变，方差不变；整体乘以 k，偏差同时扩大为原来的 k 倍，方差变为原来的 k²。另外方差的单位是原单位的平方，与数据直接比较不便，把方差开方得到标准差，单位便回到与数据一致。
按难度递进完成，先自己作答再展开解析。
变式练习
求数据 1、2、3、4、5 的方差。
分别求甲组数据 5、5、5、5 与乙组数据 4、5、6、5 的方差，并判断哪组数据更稳定。
一组数据 6、8、10、12、x 的平均数是 10，求 x 及这组数据的方差。
已知数据 1、2、3、4、x 的平均数是 3，求 x 和方差 s²；若每个数据都加 3，新数据的方差是多少？
易错点
误区：方差越大，说明数据的平均水平越高。
为什么错：把“波动大小”与“水平高低”混为一谈：方差只度量数据偏离平均数的幅度，与平均数的大小没有必然联系。
正确理解：平均水平看平均数，波动大小看方差；平均数大的组方差完全可以很小。
误区：每个数据都加上同一个数，方差会随之增大。
为什么错：整体平移后每个数据与平均数的偏差完全不变，只是位置整体挪动，波动幅度并没有改变。
正确理解：整体加减同一常数，方差不变；只有数据的相对离散情况改变时方差才变化。
误区：方差的单位与原数据的单位相同。
为什么错：偏差经过平方，单位也跟着平方，例如数据单位为 cm 时，方差的单位是 cm²。
正确理解：方差的单位是原数据单位的平方；要与原数据直接比较波动，应使用开方后的标准差 s=√s²。
小测1/3
方差主要刻画数据的哪方面特征？