平均数公式

公式卡

文字陈述

把一组数据 x₁，x₂，…，xₙ 全部相加，再除以数据的个数 n，所得的商叫做这组数据的算术平均数；它代表这组数据的总体水平，相当于把总和平均分给每个数据的“移多补少”结果。

单位与量纲

x₁，…，xₙ 为原始数据，与平均数 x̄ 同单位（如分、厘米）；n 为数据个数，无量纲；加权平均中 f 为各数据出现的次数（权重），无量纲。

使用顺序

先看演示，再调参数，最后看例题和小测。

数学统计模式：分布与离散程度

试试看

1操作：把“平均数”滑杆从 10 缓慢拖到 16，保持波动幅度不变。　观察：分布曲线的峰值位置如何移动？这说明平均数在统计图中对应什么？看提示

参考：曲线峰值整体向右平移，均值标记跟着右移：平均数决定数据的集中位置，分布中心就在平均数附近。

2操作：把“波动幅度”滑杆从 3 拖到 6，平均数保持 10 不变。　观察：曲线的胖瘦如何变化？平均数的位置改变了吗？看提示

参考：曲线变得更宽更矮（数据更分散），但峰值位置仍在 10 附近：平均数只描述集中位置，不描述离散程度。

3操作：把“样本容量”滑杆从 20 拖到 40，其他参数不动。　观察：柱形高度发生了什么变化？样本容量是否改变平均数的位置？看提示

参考：柱子整体变高，表示数据更多、总量更大；但分布中心位置基本不变，平均数由数据本身决定，样本容量只影响数据个数。

均值估计

10.00

离散程度

1.36

趋势斜率

0.00

概念精讲

平均数来源于生活里最朴素的“移多补少”：把几个人数量不等的糖合在一起重新均分，每人得到的那份就是平均数。它把一组大小各异的数据压缩成一个代表值，专门回答“总体处于什么水平”这一问题，是统计中最常用的集中趋势指标。

当数据中存在重复或占比不同的情形，简单相加再平均就不够用了：出现 f 次的数据要在总和中累计 f 份，这就是加权平均的思想，权重 f 代表每个数据的“话语权”。按各科学分计算平均绩点、按人数统计班级均分，本质上都是在算加权平均数。

平均数有两条常用性质值得记住：它总是介于最大值与最小值之间，却未必等于其中某个数据；“总和 = 平均数 × 个数”的互算关系是求未知数据的钥匙。同时它对极端值很敏感，一名超高收入者会明显抬高群体平均收入，阅读统计新闻时要留意这一点。

按难度递进完成，先自己作答再展开解析。

变式练习

基础

求数据 3、7、4、8、13 的平均数。

基础

已知数据 2、4、6、x 的平均数是 5，求 x 的值。

进阶

某班 40 名同学参加测试，其中 25 人得 90 分，15 人得 80 分，求全班平均分。

挑战

一组数据 1、3、5、a、9 的平均数是 5，求 a；再把每个数据都减去 2，写出新数据的平均数。

易错点

误区：平均数就是这组数据中出现次数最多的数。

为什么错：混淆了平均数与众数：平均数由全部数据求和均分而来，众数才是出现次数最多的数，两者可以完全不同。

正确理解：平均数 = 总和 ÷ 个数；出现次数最多的是众数，二者含义不同、数值也常不相等。

误区：数据 2、8 的平均数是 5，说明这组数据里有 5。

为什么错：平均数是“移多补少”人为均分的结果，完全可能不等于任何一个原始数据。

正确理解：平均数只保证介于最大值与最小值之间，不一定出现在原数据中。

误区：数据个数越多，平均数就越大。

为什么错：平均数的大小由数据总和与个数共同决定：个数增加时总和也随之变化，平均数可能变大、变小或不变。

正确理解：平均数反映总体水平，与数据个数没有单向的大小关系。