机械能守恒定律

公式卡

文字陈述

在只有重力（或弹力）做功的条件下，物体的动能与重力势能相互转化，但机械能的总量保持不变：初状态的动能加势能等于末状态的动能加势能。

单位与量纲

Ek、Ep、E：焦耳（J）；m：千克（kg）；v：米每秒（m/s）；h：米（m），相对同一参考面，g 取 10 N/kg。列式前先选定参考面。

使用顺序

先看演示，再调参数，最后看例题和小测。

物理能量模式：做功与动能变化

试试看

1操作：把质量 m 从 2 kg 拉到 8 kg，末速度 v（坡底）保持 10 m/s、初速度 v_0 保持 0。　观察：总机械能变为多少？对应的高度差变了吗？看提示

参考：机械能从 ½×2×10²=100 J 变为 ½×8×10²=400 J，变为 4 倍；高度差仍为 h=v²/20=5 m——守恒关系与质量无关，同一高度滑到底速度相同。

2操作：把末速度 v（坡底）从 10 m/s 拉到 12 m/s，初速度 v_0 保持 0。　观察：对应的高度差变为多少？总机械能变为多少？看提示

参考：高度差从 v²/20=5 m 变为 12²/20=7.2 m；总机械能从 100 J 变为 ½×2×12²=144 J，等于起点全部的势能。

3操作：把初速度 v_0（起点）从 0 调到 6 m/s，末速度 v（坡底）保持 10 m/s。　观察：高度差变小了吗？起点和终点的能量如何分配？看提示

参考：高度差变为 (10²-6²)/20=3.2 m；起点 Ek=½×2×6²=36 J、Ep=2×10×3.2=64 J，和为 100 J；终点 Ek=100 J、Ep=0——总量不变，只在动能与势能间重新分配。

ΔEk

100.00 J

末速度 v

10.00 m/s

初速度 v0

0.00 m/s

Ep 与 Ek 随高度的变化（自由下落）

概念精讲

荡秋千时，最高点几乎静止却站得最高，最低点速度最大却离地最近——动能和势能像跷跷板的两端，一端下去另一端必然上来。只要没有摩擦“偷走”能量，两端之和始终不变，这就是机械能守恒定律。

守恒是有条件的：只有重力做功。空气阻力、摩擦力一旦介入，机械能就会转化为内能，总量减少——真实的秋千终会停下。所以列式前先“查账”：除重力和弹力外，其余的力是否做功，这决定了能不能使用守恒定律。

守恒定律的威力在于“跳过过程”：不管沿直线下落还是沿任意光滑曲面滑下，只比较始末状态就能写出 ½mv₁²+mgh₁=½mv₂²+mgh₂。求落地速度、上抛高度时，它比牛顿定律加运动学公式简洁得多，是能量观点的第一张王牌。

按难度递进完成，先自己作答再展开解析。

变式练习

基础

质量为 2 kg 的物体从 5 m 高处自由下落（不计空气阻力，g 取 10 N/kg），落地时的动能和速度各是多少？

进阶

把质量为 1 kg 的小球以 6 m/s 的初速度竖直向下抛出，抛出点离地 8 m。落地时速度多大？（不计空气阻力，g 取 10 N/kg）

挑战

质量为 0.5 kg 的小球沿光滑曲面从高 5 m 处由静止滑下，滑到高 1.8 m 处时速度多大？这一过程中动能增加了多少？（g 取 10 N/kg）

易错点

误区：机械能守恒就是动能和势能各自保持不变。

为什么错：守恒指的是总和不变，动能与势能恰恰在不停地互相转化：下落中动能增大、势能减小。

正确理解：Ek+Ep 的总量不变，两者此消彼长；若两者都不变，物体只能做匀速水平运动或静止。

误区：只要有摩擦力存在，就绝对不能使用机械能守恒定律。

为什么错：守恒的条件是除重力（弹力）外其他力不做功或做功代数和为零；如果摩擦力做了功，机械能就会转化为内能而减少。

正确理解：遇到摩擦先判断它是否做功：不做功时守恒仍成立；做功时改用动能定理或含内能的能量守恒来分析。

误区：质量大的物体下落到地面时速度一定更大。

为什么错：由 mgh=½mv² 得 v=√(2gh)，两边的质量约掉了，落地速度只由高度决定；真空中羽毛与铁球同高释放落地一样快。

正确理解：机械能守恒给出落地速度与质量无关；空气中羽毛落得慢是因为阻力不可忽略，它的机械能并不守恒。