杠杆平衡条件

公式卡

文字陈述

杠杆平衡时，动力与动力臂的乘积等于阻力与阻力臂的乘积，即 F₁L₁=F₂L₂；动力臂比阻力臂长的杠杆省力，短的费力。

单位与量纲

F₁、F₂：牛顿（N）；L₁、L₂：米（m），是支点到力的作用线的垂直距离；等式两边乘积的单位都是 N·m。

使用顺序

先看演示，再调参数，最后看例题和小测。

物理力学模式：受力-速度-加速度联动

试试看

1操作：把动力臂 L₁ 从 0.6 m 缓慢拉到 1 m，阻力 F₂=120 N、阻力臂 L₂=0.2 m 保持不变。　观察：保持平衡所需的动力如何变化？变为多少？看提示

参考：由 F₁=F₂L₂/L₁，动力从 120×0.2/0.6=40 N 变为 120×0.2/1=24 N——动力臂越长越省力。

2操作：把阻力臂 L₂ 从 0.2 m 拉到 0.6 m，动力臂 L₁ 保持 0.6 m，阻力 F₂ 保持 120 N。　观察：所需动力变为多少？此时杠杆属于哪一类？看提示

参考：F₁=120×0.6/0.6=120 N，动力等于阻力，成为既不省力也不费力的等臂杠杆（如天平）。

3操作：保持 L₁=0.6 m、L₂=0.2 m，把阻力 F₂ 从 120 N 调到 300 N。　观察：所需动力变为多少？动力与阻力始终是什么比例关系？看提示

参考：F₁=300×0.2/0.6=100 N；动力臂是阻力臂的 3 倍，动力就始终是阻力的 1/3，属于省力杠杆。

阻尼修正

0.92

频率 f

1.20 Hz

估计相位

0.00

F₁-L₁ 图像（阻力与阻力臂一定）

概念精讲

一根普通木棍为什么能撬起大石块？两千多年前，阿基米德研究杠杆时留下了“给我一个支点，我就能撬动地球”的名言。人们在长期使用撬棒、秤杆的经验中发现，撬动重物所需的力不仅与物重有关，还与力到支点的距离有关：距离越远越省力。把力与力臂的乘积作为衡量转动效果的标准，平衡时两侧乘积相等，就得到 F₁L₁=F₂L₂。

为什么是比较乘积而不是比较力？力使杠杆转动的效果，既取决于力的大小，也取决于支点到力的作用线的垂直距离，也就是力臂。杠杆平衡意味着两侧的转动效果恰好抵消，所以要比较 F₁L₁ 与 F₂L₂ 这两个乘积。动力臂长于阻力臂时，较小的动力就能抗衡较大的阻力，这是省力杠杆；省力必然费距离，天平两侧等臂则是既不省力也不费力的特例。

应用时按找支点、画力臂、列乘积等式三步走：先确定杠杆绕哪一点转动，再从支点向力的作用线作垂线得到力臂，最后代入 F₁L₁=F₂L₂ 解出未知量。注意两个易混处：力臂不是支点到力的作用点的距离，斜着施力时力臂变短、所需的力随之变大；省力杠杆省了力却费了距离，使用任何机械都不能省功。

按难度递进完成，先自己作答再展开解析。

变式练习

基础

杠杆平衡时，动力为 20 N，动力臂为 0.5 m，阻力臂为 0.1 m，求阻力的大小。

基础

作用在杠杆上的动力为 50 N，动力臂为 0.2 m；阻力为 100 N 且与动力使杠杆平衡，求阻力臂的长度。

进阶

一根自重不计的杠杆，支点为 O。在支点左侧 0.2 m 处挂一个重 60 N 的物体，在支点右侧施加竖直向下的动力使杠杆在水平位置平衡，动力作用点离支点 0.4 m，求动力大小。

挑战

一根粗细均匀、重 300 N 的木棒平放在水平地面上，要把它的一个端点匀速抬离地面，至少需要多大的竖直向上的力？（木棒长为 L）

易错点

误区：力臂就是支点到力的作用点的距离。

为什么错：力臂是支点到力的作用线的垂直距离，与作用点离支点远近不是一回事；同一个作用点斜着施力，力臂会变短。

正确理解：过力的作用点沿力的方向画作用线，再从支点向这条线作垂线，垂线段的长度才是力臂。

误区：使用省力杠杆可以省功。

为什么错：省力杠杆动力小但移动距离大，F₁s₁ 与 F₂s₂ 相抵；功的原理表明使用任何机械都不能省功。

正确理解：杠杆只能“省力费距离”或“费力省距离”；不计摩擦和自重时动力做的功等于直接提升物体做的功。

误区：杠杆平衡时，支点两侧的力一定相等。

为什么错：平衡条件是力与力臂的乘积相等，而不是力相等；两侧力臂不同时，力的大小必然不同。

正确理解：判断平衡要比较 F₁L₁ 与 F₂L₂：动力臂长的一侧力小，这正是省力杠杆的原理。