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相似三角形判定与性质
Math Geometry Triangle Mode
公式卡
文字陈述
两个三角形相似时，对应角相等，三组对应边的比都等于同一个数 k（相似比）；周长比、对应中线与对应高之比都等于 k，而面积比等于相似比的平方 k²。
单位与量纲
相似比 k 是两条对应边长度之比，无量纲；求比前先统一长度单位；面积比 k² 同样无量纲，由'长度比'升级到'面积比'时要平方。
使用顺序
先看演示，再调参数，最后看例题和小测。
数学几何模式：直角三角形关系
试试看
1操作：把"底边"从 4 调到 8，"高度"保持 3。 观察：三角形还保持原来的形状吗？这说明相似对边的要求是什么？看提示
参考：不是：只有底翻倍、高不变，角发生了改变，与原三角形不相似；相似要求所有对应边同乘同一个比值 k，不能只缩放一个方向。
2操作：把"底边"从 4 调到 8，同时把"高度"从 3 调到 6。 观察：新三角形与原三角形相似吗？相似比与面积比各是多少？看提示
参考：相似：底与高同时放大 2 倍，k=2；面积从 ½×4×3=6 变为 ½×8×6=24，面积比 4:1，恰为 k²。
3操作：拖动"几何形变参数"，从 1.5 调到 6，底边与高度不变。 观察：角被改变了，形变前后的两个三角形还相似吗？判定相似至少需要什么条件？看提示
参考：不相似：角变了就不满足对应角相等；最常用的判定是 AA——两组对应角相等即可，也可用两边成比例且夹角相等或三边成比例。
斜边估计
面积
形变
概念精讲
全等要求形状与大小都相同，相似只锁住形状：照片等比缩放后，角度不变、边长同乘一个数。三角形特别'稳定'——只要两个角对应相等，第三个角随之确定，其余各边必然成比例，这就是最常用的 AA 判定。
性质是一条链：对应边之比都是 k，周长是边长之和，比仍是 k；而面积是两边相乘，(ka)·(kb)=k²·ab，面积比便升为 k²。从'长度'到'乘积'次数加一，许多错误都源于把一次量与二次量混为一谈。
解题流程固定：先证相似（找两组等角，或两组边成比例且夹角相等），再用比例式设元求解，最后分清所求是长度还是面积——长度查 k，面积查 k²。影长测旗杆、镜子测湖宽，都是靠构造一对相似三角形把不可及的长度变成可算的比。
按难度递进完成，先自己作答再展开解析。
变式练习
△ABC∽△DEF，相似比为 3（AB 对应 DE），△ABC 的周长为 15，求 △DEF 的周长。
两个相似三角形的对应边之比为 2:3，其中较小三角形的面积为 8，求较大三角形的面积。
在 △ABC 中，点 D 在 AB 上，∠ACD=∠B，AC=6，AB=8，求 AD 的长。
两个相似三角形的面积比为 9:4，周长之和为 40，求两个三角形的周长。
易错点
误区：相似三角形的面积比等于相似比。
为什么错：面积是两条边的乘积：两条边各放大 k 倍，面积放大 k² 倍，一次比只适用于长度量。
正确理解：面积比=相似比的平方；周长比、对应高与对应中线之比才等于相似比本身。
误区：判定相似必须验证三边都成比例才行。
为什么错：其实两角对应相等就够了：三角形内角和为 180°，两个角确定后第三个角随之确定，形状完全锁定。
正确理解：AA（两角对应相等）是最常用的判定；另外还有'两边成比例且夹角相等'与'三边成比例'两条路。
误区：相似的两个三角形一定全等。
为什么错：相似只要求对应角相等、对应边成比例，大小允许不同；全等只是相似比为 1 的特例。
正确理解：k=1 时相似退化为全等；一般地相似三角形形状相同、大小可以不同。
小测1/3
△ABC∽△DEF，相似比为 2:3，则它们的面积比为：