演示页
余弦定理
Math Geometry Triangle Mode
公式卡
文字陈述
三角形中任意一边的平方，等于另外两边的平方和减去这两边与它们的夹角余弦乘积的两倍；它是勾股定理在任意三角形中的推广。
单位与量纲
三边 a、b、c 取同一长度单位，c² 与 2ab·cosC 都是长度的平方量；cosC 是纯数值（无量纲），等式两边量纲一致。
使用顺序
先看演示，再调参数，最后看例题和小测。
数学几何模式：直角三角形关系
试试看
1操作：固定“边 a”为 5、“边 b”为 7，把“夹角 C”从 60° 调到 90°。 观察：第三边 c 变为多少？与勾股定理的计算一致吗？看提示
参考：C=90° 时 cosC=0，c=√(25+49)=√74≈8.6，正是勾股定理的结果；夹角越大，第三边越长。
2操作：保持 a=5、b=7 不变，把“夹角 C”从 90° 继续拉到 150°。 观察：cosC 变号之后，c² 与 a²+b² 谁大？这说明什么？看提示
参考：C 为钝角时 cosC<0，-2ab·cosC 变成正项，c²>a²+b²；C=150° 时 c²=74+35√3≈134.6，c≈11.6，钝角所对的边是三边中最大的。
3操作：把“边 a”从 5 调到 8，“边 b”保持 7、“夹角 C”保持 60°。 观察：第三边 c 如何变化？验证 c=√57 是否与画面一致。看提示
参考：c²=64+49-2×8×7×0.5=57，c=√57≈7.55，比原来的 √39≈6.24 增大；夹角不变时，边增大第三边也增大。
斜边估计
面积
形变
概念精讲
勾股定理只能处理直角，而测量中更常见的是斜三角形：已知两段距离与它们之间的观测夹角，第三段距离是多少？这一问题催生了余弦定理——在勾股定理的基础上补一个与夹角有关的修正项，让平方关系对任意角都成立。
它为什么成立？最简洁的是向量证法：把表示第三边的向量写成两个已知边向量之差，两边平方后按数量积展开，就自然出现 2ab·cosC 这一项；当 C=90° 时 cosC=0，修正项恰好消失，等式回到 c²=a²+b² 的形状，可见勾股定理是它在直角时的特例。
使用时先分清题型：已知两边及夹角求第三边，直接代入 c²=a²+b²-2ab·cosC；已知三边求角，则移项为 cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)，并借助余弦值的正负判断角型——负值对应钝角，不是计算出错。无论哪种情形，公式里的角都必须取两条已知边的夹角。
按难度递进完成，先自己作答再展开解析。
变式练习
在 △ABC 中，已知 a=2，b=4，C=60°，求 c 的长。
在 △ABC 中，已知 a=3，b=5，C=120°，求 c 的长。
已知三角形三边 a=3，b=5，c=7，求最大角 C，并判断三角形的形状。
易错点
误区：余弦定理公式里的角可以是任意一个角。
为什么错：c²=a²+b²-2ab·cosC 中的 C 必须是边 a、b 的夹角（也就是 c 的对角）；选错角等式就不成立。
正确理解：求哪条边的平方，就取它的对角；先在图上标清边角对应关系再代入。
误区：算出 cosC<0 说明计算出错了。
为什么错：三角形内角可以是钝角，钝角的余弦本来就是负数，cosC<0 恰恰说明 C 是钝角，不是错误信号。
正确理解：cosC 的符号反映角型：正为锐角、零为直角、负为钝角，正好可以用来判断三角形形状。
误区：余弦定理和勾股定理是两个没有关系的公式。
为什么错：当 C=90° 时 cosC=0，余弦定理就退化为 c²=a²+b²，它本身就是勾股定理的推广。
正确理解：把余弦定理看成勾股定理的一般形式，直角三角形是它的特例；这样理解能避免记错公式结构。
小测1/3
当夹角 C=90° 时，余弦定理会变成什么？