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正弦定理
Math Geometry Triangle Mode
公式卡
文字陈述
在任意三角形中，每条边与它所对角的正弦的比值都相等，这个比值等于三角形外接圆的直径 2R；它把三角形的边与角互相转化，是解三角形的基本工具。
单位与量纲
边 a、b、c 与外接圆半径 R 取同一长度单位；sinA、sinB、sinC 是纯数值（无量纲），比值 a/sinA 的量纲就是长度。
使用顺序
先看演示，再调参数，最后看例题和小测。
数学几何模式：直角三角形关系
试试看
1操作：把“边 a”从 6 调大到 10，保持“角 A”为 30°、“角 B”为 45° 不变。 观察：画布中三角形的形状改变吗？比值 a/sinA 如何变化？看提示
参考：角不变，三角形只是整体等比放大、形状不变；a/sinA 从 6÷0.5=12 增大到 10÷0.5=20，说明这个比值就是外接圆直径 2R，随整体尺寸同步变大。
2操作：把“角 A”从 30° 拉到 90°，“角 B”保持 45°。 观察：此时第三个角 C 是多少度？sinA 达到最大值说明什么？看提示
参考：C=180°-90°-45°=45°，三角形是等腰直角三角形（b=c）；sin90°=1 是正弦的最大值，对角越大，同一条边对应的正弦值越大。
3操作：固定“边 a”为 6，把“角 A”从 30° 调到 120°。 观察：sinA 如何变化？钝角三角形还能用正弦定理吗？看提示
参考：sin30°=1/2，sin120°=√3/2≈0.87，正弦值仍然为正且等于其补角的正弦（sin120°=sin60°）；钝角同样可以直接代入正弦定理。
斜边估计
面积
形变
概念精讲
测量中常有无法直接抵达的距离：河宽、塔高、两个哨所之间的直线距离。全等的判定告诉我们三个恰当的条件可以确定三角形，但要真正算出未知的边与角，还需要一条把边和角互相换算的桥梁，正弦定理正是这座桥。
它为什么成立？在 △ABC 中从角 C 向对边作高 h，在两侧的直角三角形里分别有 h=b·sinA 与 h=a·sinB，两式相比即得 a/sinA=b/sinB，换一个顶点作高同理；若把三角形放进它的外接圆，借助“直径所对的圆周角是直角”，还能说明这个公共比值恰好等于外接圆直径 2R。
解题时先辨认题型：已知两角与一边，用公共比值直接列比例式求边；已知两边及其中一边的对角，则先求出未知角的正弦，再结合内角和与“大边对大角”检验是否有两个解。钝角三角形同样适用——钝角的正弦等于其补角的正弦，仍为正值，关键是边与对角严格配对。
按难度递进完成，先自己作答再展开解析。
变式练习
在 △ABC 中，已知 B=45°，C=30°，b=4，求 c 的长。
在 △ABC 中，已知 A=60°，a=3√3，B=45°，求 b 的长。
在 △ABC 中，已知 a=2，b=2√2，B=45°，求角 A。
易错点
误区：正弦定理只能在直角三角形中使用。
为什么错：正弦定理对任意三角形（锐角、直角、钝角）都成立，它可以由外接圆直径或等面积法推出，与是否为直角无关。
正确理解：任意三角形都能用；关键是边与对角严格对应，钝角的正弦同样是正值（等于其补角的正弦）。
误区：已知 sinB=0.5，则 B 一定是 30°。
为什么错：三角形内角范围是 0°~180°，30° 与 150° 的正弦值都是 0.5，两个角都有可能。
正确理解：必须结合已知边角（大边对大角）和内角和 180° 检验，确定唯一合理的角。
误区：a/sinA 里的 A 可以随便选一个角，只要和 a 写在同一个式子里。
为什么错：若角与边不是‘对角’关系，比值就不再等于 2R，后续计算会全盘出错。
正确理解：代入前先检查对应：a 对 A、b 对 B、c 对 C；边和角必须一一配对。
小测1/3
在正弦定理中，边 a 应该对应哪个角？