等差数列通项公式

公式卡

文字陈述

等差数列从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数 d（公差）；第 n 项等于首项加上 n-1 个公差，即 a_n=a_1+(n-1)d。

单位与量纲

首项 a_1、各项 a_n 与公差 d 取同一计量单位（纯数值时无量纲）；d 表示每一项的固定增量，n 是项数序号，取正整数。

使用顺序

先看演示，再调参数，最后看例题和小测。

数学数列模式：通项与累加结构

试试看

1操作：把“公差 d”从 2 调到 5，保持“首项 a_1”为 3。　观察：数列点上升得更快还是更慢？a_8 变为多少？看提示

参考：更快；a_8=3+7×5=38（原来是 17），公差越大，表示数列的直线越陡。

2操作：把“公差 d”调到负值（如 -3）。　观察：图形上的点如何排列？这说明 d 的符号起什么作用？看提示

参考：点从左上向右下递减排列；d<0 时数列递减，d 的符号决定数列的增减性。

3操作：固定“公差 d”为 2，把“首项 a_1”从 3 调到 -3。　观察：点阵整体如何移动？通项公式怎么变？看提示

参考：所有点整体向下平移 6 个单位，通项从 a_n=2n+1 变为 a_n=2n-5；只有截距变了，斜率（公差）不变。

第 n 项 an

17.00

首项 a1

3.00

公差 d

2.00

通项 aₙ（直线）与前 n 项和 Sₙ（抛物线）对比

概念精讲

电影院一排排的座位数、楼梯上一级级的高度、每月定额存入的存款，这些“每走一步加同一个数”的变化，用同一个数学模型刻画就是等差数列；固定增量 d 叫做公差，它是“匀速变化”在离散世界里的对应物。

通项公式可以从数列自身的结构里长出来：第 2 项比首项多 1 个公差，第 3 项多 2 个……第 n 项恰好比首项多 n-1 个公差，于是 aₙ=a₁+(n-1)d；也可以用累加法把 a₂-a₁=d、a₃-a₂=d、……逐式相加，中间项全部消去，同样得到这个结果。

它本质上是斜率为 d、截距为 a₁-d 的一次函数限制在正整数集上的图像，所以求通项常从确定 a₁ 与 d 入手：知道任意两项，两项之差除以下标之差就是公差，再回代定出首项。注意 n 只取正整数、增量是 n-1 个公差——代 n=1 检验 aₙ=a₁ 可防止把增量多数一次；d 的正负决定数列递增、递减还是不变。

按难度递进完成，先自己作答再展开解析。

变式练习

基础

已知等差数列的首项 a_1=-2，公差 d=3，求第 10 项 a_10。

进阶

在等差数列 {a_n} 中，a_4=10，a_8=22，求公差 d 与通项公式。

进阶

等差数列 -1，2，5，… 中，101 是它的第几项？

挑战

三个数成等差数列，它们的和是 21，积是 231，求这三个数。

易错点

误区：通项公式是 a_n=a_1+nd。

为什么错：从第 1 项到第 n 项只增加了 n-1 个公差，首项本身不计入增量；代 n=1 检验，a_1+nd 会多出一项。

正确理解：正确公式是 a_n=a_1+(n-1)d；用 n=1 验证：a_1=a_1+0×d，公式自洽。

误区：公差 d 一定是正数。

为什么错：递增数列的 d>0，但递减数列的 d<0（如 9，6，3，… 的 d=-3），常数列 d=0 也是等差数列。

正确理解：d 可以是任意实数，它的符号决定数列递增、递减或不变。

误区：等差数列的项可以对应小数位置，比如 a_2.5。

为什么错：数列的项数 n 只能取正整数 1，2，3，…；通项公式虽然形式上像一次函数，但定义域是正整数集。

正确理解：a_n=dn+(a_1-d) 是定义在正整数集上的一次函数；由某数值反解出的 n 必须是正整数，该数才是数列中的项。