等差数列前 n 项和 Arithmetic Sequence Sum

公式卡

文字陈述

等差数列前 n 项和等于'项数 × 首末两项的平均值'：S_n=n(a_1+a_n)/2；把通项 a_n=a_1+(n-1)d 代入还可化为 S_n=na_1+n(n-1)d/2，当 d≠0 时 S_n 是关于 n 的二次函数（无常数项）。

单位与量纲

a_1、a_n、d 与 S_n 在纯数列问题中均为实数、无量纲；实际情境中 S_n 与各项同单位，d 的单位与项相同，n 表示项数、无量纲。

使用顺序

先看演示，再调参数，最后看例题和小测。

数学数列模式：通项与累加结构

试试看

1操作：把公差 d 从 3 逐渐减小到 0，再减到 -3，首项 a_1=2、项数 n=10 保持不变。　观察：累加过程发生了什么变化？S_10 从多少变为多少？看提示

参考：d=3 时 S_10=155；d=0 时各项都是 2，S_10=20；d=-3 时 a_10=2-27=-25，S_10=10(2-25)/2=-115，公差减小，和随之减小甚至变负。

2操作：固定 a_1=2、d=3，把项数 n 从 10 逐步拉大到 20。　观察：S_n 的增长是匀速的还是越来越快？S_20 是多少？看提示

参考：S_20=20(2+59)/2=610；每新增一项都比前一项大 3，所以和增长越来越快，d≠0 时 S_n 是关于 n 的二次函数。

3操作：把首项 a_1 从 2 调到 -10，d=3、n=10 保持不变。　观察：S_10 变为多少？与调前的差值说明了什么？看提示

参考：S_10=10(-10+17)/2=35；比原来的 155 少 120=10×12，即每一项都减少 12 时，10 项的和恰好减少 120，体现和的线性叠加。

前 n 项和 Sn

155.00

首项 a1

2.00

公差 d

3.00

前 n 项和 Sₙ 与通项 aₙ 的增长对比

概念精讲

高斯小时候计算 1 加到 100：把算式正着写一遍、倒着写一遍，上下对齐后每列的和都是 101，共 100 列，取一半便得 5050。这个“倒序相加”的技巧之所以屡试不爽，是因为等差数列中与首末两端等距的两项之和恒定——把这份对称性写成公式，就是 S_n=n(a_1+a_n)/2，即“项数乘以首末两项的平均值”。

把通项 a_n=a_1+(n-1)d 代入，公式变形为 S_n=na_1+n(n-1)d/2。换个视角看：固定 a_1 与 d，S_n 是关于 n 的二次函数且没有常数项。这解释了两个现象——逐项累加时和的增长越来越快（图像是抛物线的一段），以及首项与公差符号不利时 S_n 会先减后增，并非一味增大。

选公式看条件：已知首项与末项，用 n(a_1+a_n)/2 最省事；只知道 a_1 与 d，就用含 d 的形式一步到位。易错处集中在“差一”：第 n 项只含 n-1 个公差，n=10 时末项是 a_1+9d；剧场座位、堆放圆木等实际问题要先确认等差关系成立、数清项数，再套公式，结果才可靠。

按难度递进完成，先自己作答再展开解析。

变式练习

基础

等差数列中 a_1=1，d=2，求前 20 项和 S_20。

基础

等差数列 3, 7, 11, 15, … 的前 10 项和是多少？

进阶

等差数列中 a_1=12，a_6=27，求 S_6。

挑战

某剧场第一排有 20 个座位，后面每一排都比前一排多 2 个座位，共有 15 排。问该剧场一共有多少个座位？

易错点

误区：通项公式是 a_n=a_1+n·d。

为什么错：从第 1 项到第 n 项只增加了 n-1 次公差；写成 a_1+nd 会多算一项，例如 a_1=2、d=3 时 a_10=29 而不是 32。

正确理解：等差数列通项公式为 a_n=a_1+(n-1)d，'第几项'与'公差的个数'相差 1。

误区：只要 d>0，前 n 项和 S_n 就随 n 的增大一直增大。

为什么错：若首项为负且绝对值较大，和会先减后增：如 a_1=-10、d=1 时，S_1=-10、S_19=-19（比 S_1 更小），到 S_21=0 才回升。

正确理解：d≠0 时 S_n 是关于 n 的二次函数（无常数项），先增后减还是先减后增由 a_1 与 d 的符号共同决定。

误区：S_n=n(a_1+a_n)/2 中的 a_n 可以随便取数列中的某一项。

为什么错：a_n 特指参与求和的末项（第 n 项）；换成其他项，'首末平均值 × 项数'的结构就被破坏，结果必然出错。

正确理解：使用该公式前必须确认 a_n 是第 n 项；题目未直接给出时，先用通项公式 a_n=a_1+(n-1)d 求出。