等比数列通项与求和

公式卡

文字陈述

等比数列从第 2 项起，每一项与前一项的比都是同一个常数 q（公比）；通项公式为 a_n=a_1·q^(n-1)，当 q≠1 时前 n 项和为 S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)。

单位与量纲

各项 a_n 与首项 a_1 取同一计量单位，公比 q 无量纲；S_n 与各项同单位，求和公式要求 q≠1（q=1 时各项相等，S_n=na_1）。

使用顺序

先看演示，再调参数，最后看例题和小测。

数学数列模式：通项与累加结构

试试看

1操作：把“公比 q”从 2 调到 3，保持“首项 a₁”为 3。　观察：a₅ 变为多少？数列上升的速度有何变化？看提示

参考：a₅ 从 3×2⁴=48 变为 3×3⁴=243；公比越大，增长越陡，呈指数式上升。

2操作：把“公比 q”调到 1，再调到 0.5。　观察：q=1 时各项如何？q=0.5 时数列怎么变？看提示

参考：q=1 时各项都等于首项（常数列），此时求和要用 S_n=na₁；q=0.5 时各项逐次减半、趋于 0，等比数列可增也可减。

3操作：拖动“项数 n”滑杆，从 5 调到 12，观察前 n 项和的变化。　观察：S_n 的增长节奏与等差数列有何不同？看提示

参考：q>1 时前 n 项和按倍数加速增长（每多加一项，和约放大 q 倍）；而等差数列的前 n 项和只是线性增长。

第 n 项

11.00

前 n 项和

35.00

趋势

递增

通项 aₙ 与前 n 项和 Sₙ 的增长对比

概念精讲

细胞一分为二、复利逐期滚存、药物浓度按比例衰减，这些“每一步乘同一个数”的过程，与等差数列“逐步加常数”形成对照：增长方式从均匀变成了加速，刻画它的工具就是公比为 q 的等比数列。

两个公式的来历都很自然：第 n 项比首项多乘 n-1 次 q，得 aₙ=a₁·q^(n-1)；求和用错位相减——把 Sₙ 与 q·Sₙ 对齐相减，中间各项成对消去，整理出 Sₙ=a₁(1-q^n)/(1-q)。也正因为整理时用 1-q 作了除数，公式天生要求 q≠1；q=1 时各项相同，Sₙ=na₁。

解题先定基本量：由任意两项相除可消去首项直接解出 q，注意下标之差对应 q 的幂次；再用通项或求和公式完成计算。使用边界集中在三点：求和前先确认 q≠1，否则要分段处理；q<0 时各项正负交错，负数的奇偶次幂符号容易出错；等比数列各项都不能为零。

按难度递进完成，先自己作答再展开解析。

变式练习

基础

已知等比数列的首项 a₁=8，公比 q=1/2，求第 6 项 a₆。

进阶

等比数列 3，6，12，… 的前 6 项和是多少？

进阶

在等比数列 {a_n} 中，a₂=6，a₅=48，求 a₁ 与公比 q。

挑战

某种细菌每 20 分钟分裂一次，1 个细菌分裂成 2 个。现有 2 个细菌，经过 2 小时后共有多少个细菌？

易错点

误区：q=1 时也能直接套用 S_n=a₁(1-q^n)/(1-q)。

为什么错：q=1 时分母 1-q=0，公式失效；此时每一项都等于 a₁，前 n 项和就是 na₁。

正确理解：求和公式仅在 q≠1 时使用；q=1 时直接写 S_n=na₁，做题时要先分段讨论。

误区：通项公式是 a_n=a₁·q^n。

为什么错：从第 1 项到第 n 项只乘了 n-1 次 q，首项本身不乘；写成 q^n 会在 n=1 时多乘一次。

正确理解：正确公式是 a_n=a₁·q^(n-1)；用 n=1 验证得 a₁，公式自洽。

误区：相邻两项的差相等就是等比数列。

为什么错：差相等是等差数列的特征；等比数列要求相邻两项的商（后项÷前项）为常数。

正确理解：判断等比看比值 q=a_(n+1)/a_n 是否为常数，且各项都不为 0；等差与等比不能混淆。