动能定理

公式卡

文字陈述

合外力对物体所做的总功等于物体动能的变化量：总功为正，动能增加；总功为负，动能减小；总功为零，动能不变。它把“做功过程”与“速度变化”直接联系起来。

单位与量纲

W、Ek：焦耳（J），1 J = 1 N·m；m：千克（kg）；v、v₀：米每秒（m/s）。动能是标量，只有大小、没有方向，且恒为非负值。

使用顺序

先看演示，再调参数，最后看例题和小测。

物理能量模式：做功与动能变化

试试看

1操作：把“质量 m”固定为 2 kg、“初速度 v_0”设为 0，把“末速度 v”从 4 m/s 拉到 8 m/s。　观察：所需的合外力总功变为原来的几倍？为什么？看提示

参考：W=1/2mv² 中速度带平方：速度翻倍，动能从 16 J 增大到 64 J，总功变为 4 倍。

2操作：固定“末速度 v”=6 m/s、“初速度 v_0”=0，把“质量 m”从 2 kg 拉到 8 kg。　观察：总功如何变化？质量与动能是什么关系？看提示

参考：总功从 36 J 增大到 144 J：速度相同时动能与质量成正比，质量变为 4 倍动能也变为 4 倍。

3操作：把“初速度 v_0”调到 4 m/s、“末速度 v”调到 2 m/s，保持“质量 m”=2 kg，观察总功的正负。　观察：物体在加速还是减速？总功是正还是负？看提示

参考：v<v₀，物体减速：动能从 16 J 减小到 4 J，总功为 -12 J，说明合外力做了负功、消耗了物体的动能。

动能变化 ΔEk

33.75 J

末速度 v

6.00 m/s

初速度 v0

1.50 m/s

Ek-v 图像

概念精讲

用牛顿定律求速度，要先把加速度算出来，过程一复杂就得逐段列方程。动能定理提供了一条只看初末状态的捷径：合外力所做的总功等于动能的变化量，即 W=½mv²-½mv₀²。它由 F=ma 两边同乘位移推导而来，却把整个过程压缩成一个标量等式，变力、曲线运动照样适用。

解题分三步：确定初、末状态的速度，把各个力做的功连同正负号一并求代数和，再令它等于动能变化量。功与动能都是标量，不需要按方向分解，这正是它处理复杂路径问题比牛顿定律高效的地方；已知做功反求末速度时，先解出 v² 再开方即可。

动能恒为非负、没有方向，速度带平方意味着速度翻倍动能变 4 倍，不能按正比想象。总功为正动能增大，为负动能减小，为零动能不变；摩擦力等阻力做负功时要带着负号参与代数运算，“克服阻力做功 6 J”对应的数值就是 -6 J。

按难度递进完成，先自己作答再展开解析。

变式练习

基础

质量为 1 kg 的物体在合外力作用下速度由 2 m/s 增大到 4 m/s，求合外力做的功。

基础

质量 0.5 kg 的小球从静止自由下落 2 s（g 取 10 m/s²，空气阻力不计），求 2 s 末小球的动能。

进阶

质量 2 kg 的物体以 6 m/s 的初速度冲上粗糙斜面，到达最高点时速度恰好为 0，上升的竖直高度为 1.5 m（g 取 10 m/s²）。求物体克服摩擦力做的功。

挑战

质量 800 kg 的汽车以 20 m/s 的速度行驶，关闭发动机后在水平路面上滑行 50 m 恰好停下。设阻力恒定，求阻力的大小。

易错点

误区：速度大的物体动能一定大。

为什么错：动能由质量和速度共同决定：缓慢行驶的载重货车动能可以远大于高速飞行的子弹（1 万 kg、10 m/s 的货车动能约 5×10⁵ J，而 10 g、700 m/s 的子弹约 2.5×10³ J）。

正确理解：比较动能必须同时看质量和速度，只有质量相同时才有“速度大动能大”。

误区：动能有方向，向右运动动能为正、向左为负。

为什么错：动能是标量，Ek=1/2mv² 中速度取平方，方向信息被消去，动能永远是非负数。

正确理解：动能没有方向；带有方向、可正可负的对应量是动量，两者不要混淆。

误区：合外力做负功，物体一定是向后（反向）运动。

为什么错：做负功只说明动能减小、速率变小：刹车时汽车仍向前运动，摩擦力却做负功；竖直上抛的物体向上运动，重力也做负功。

正确理解：总功的正负对应动能的增减，与物体运动方向没有必然联系。

公式卡